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关闭窗口 但是，随着科学的发展和人类向更完美的目标的持续追求，复杂的自然界不断促使我们逐渐地把一个个线性理论发展为非线性理论。如：理想流体力学发展为非线性的纳维尔—斯托克斯（Navier－Stokes）理论；牛顿引力定理发展为非线性的爱因斯坦引力场方程；线性振动、波动发展为非线性的；光学、热力学、统计力学等都从线性理论发展为非线性理论。还有，玻恩等试图发展非线性的电磁理论；海森堡、德布罗意、玻姆及P．B．Burt等都努力发展过非线性量子力学等，所有的线性理论似乎都在趋于非线性化。“欲穷千里目，更上一层楼。”复杂的具有千丝万缕联系的自然界，在彼此相互作用中通常总要导致非线性。因此，我们相信非线性化是科学发展的必由之路。
可是，非线性理论极为复杂，非线性方程的求解也很困难，加之迭加原理对此不成立，从而傅里叶展开和拉普拉斯变换都不适用。多年来，人们面对这片未知的辽阔的海疆，望洋兴叹，徒唤奈何。然而，“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”，近年来，得力于数学的巨大进步和电子计算机的普遍应用，非线性理论中出现了两个举世瞩目、并被广泛研究的领域：孤子和混沌。二者迥然不同，而又有微妙的联系，这一有趣的特点尚未引起人们的足够注意。
一、孤子（soliton）
从1834年8月司各特·罗素观察到河面上稳定的孤峰兀立的水波，1895年柯特维格和德弗里导出KDV方程及其孤子解以来，已经许多年了，但引起人们对它的普遍关注却还是本世纪六七十年代的事。对此，国内外已经有了很多综述和若干专著。在短短的二十年中，从天文学到“基本”粒子，从浅水波传播、流体力学到晶格理论、非线性光学、等离子体物理、固体物理、凝聚态物理、超导物理、弹性力学、统计力学、声子、位错、工程学、材料科学、气象学、海洋学、高分子理论、分子生物学，甚至气功、经络等等，孤子这一新的概念得到了极其广泛地应用。
非线性方程中导致解不稳定的非线性和色散效应相结合，获得了稳定的孤立波，即孤子。孤子解是应用一些技巧得到的某些非线性偏微分方程的一类特解。它具有若干有意义的性质。孤子解是一种单峰行进波，它传播时波形不变且为常速，碰撞后形状和速度仍然保持不变。
人们广泛地研究了具有孤子解的各种方程：KDV方程
screen.width-333) {this.width=screen.width-333;this.alt='Click Here to Open New Window';}" border=0>及其推广；正弦—戈登（SG）方程
screen.width-333) {this.width=screen.width-333;this.alt='Click Here to Open New Window';}" border=0>
screen.width-333) {this.width=screen.width-333;this.alt='Click Here to Open New Window';}" border=0>非线性薛定谔方程
screen.width-333) {this.width=screen.width-333;this.alt='Click Here to Open New Window';}" border=0>广田（Hirota）方程
screen.width-333) {this.width=screen.width-333;this.alt='Click Here to Open New Window';}" border=0>马布西尼斯（Boussinesq）方程，非线性格点方程；玻恩—英费尔德方程；自透射方程；非线性LC网络方程等，并将这些方程应用于多种多样的领域。人们采用了各种数学理论，如散射反演方法，无穷多个守恒律，贝克兰得（B cklund）变换等。方程的解也从孤子推广为反孤子、呼吸子、碰撞解及扭结解、涡旋解、瞬子解、磁单极子解等。
初期，大家仅限于研究经典的孤子理论。1977年，弗里德伯格和李振道把它推广为量子的，并得到结论：对任何一种玻色子场系统，只要经典孤子存在，则总存在相应的量子孤子解，至少在弱耦合的情形时如此。他们把所有孤子解分为两大类：拓扑性孤子和非拓扑性孤子。巴丁等的SLAC袋模型就是基于4场方程的孤子解，并由此讨论了夸克的禁闭问题。同时，由孤子理论可以得到夸克所需要的分数电荷。
我们从对称性破缺的拉氏量得到耦合的非线性方程组，由它们的孤子解可以获得粒子的盖尔曼—大久保（GMO）质量公式及其更精确的公式
M=M0+AY+B[I（I+1）-Y2/2]
并且进一步展开了讨论。
粒子物理中为什么可以应用孤子？我们认为一方面普遍存在的粒子系统是相互作用耦合的，其场方程一般是非线性的。这些方程的一类有意义的解就是孤子解。另一方面，粒子是稳定的或平稳定的，这正好相应于孤子。第三方面，因为由平面波选加得到的波包必然要扩散，这是量子力学中的老问题，所以如果波一粒二象性始终成立，粒子也只能是孤子。由此推广，我们相信并预言，所有存在相互作用的体系，只要其中有相对稳定的客体，孤子理论都大有用武之地。因此，孤子及其数学方法必将进一步发展，必将更加深入地应用到各个领域。
二、混沌（chaos）
虽然60年代人们就开始注意混沌现象了，但直到1978年菲金堡姆（Feigenbaum）从计算机实验中发现一些简单的单变量非线性映象的分岔点结构具有若干普遍规律，出现一些普适常数以后，混沌才引起了大家的极大兴趣。
几年之中，连篇累牍的论文，令人目眩的应用，众多的专著，形成新的巨大的浪潮滚滚而来。“春色弥漫溢天地”，混沌迅速冲进了科学的各个领域，如纯数学、时空理论、湍流、浅水波的强迫振动、非线性振荡电路、量子力学、光学、声学、等离子体物理、超导理论、位错理论、非线性振动、相变理论、微波理论、固体物理、统计物理、天文学、广义相对论、地磁场理论、化学、气象学、工程模型、协同学、生态学、群体动力学、生命科学、生物学、医学（如心脏跳动、脑电波及非线性药物代谢动力学、生理和病理现象的自动调节模型等）经济学、社会学、战争论等等。它形成雪崩式的应用，出现了“条条道路通混沌”的趋势。
当一个非线性动力学系统远离平衡时就可能出现混沌态，这是一种非常普遍的非线性现象。各种非线性方程、非线性映射，如xn+1＝1－ax2n，在一定的参数a范围内，当a不断改变时，不动点逐渐跃变，分岔现象不断出现，周期点增多，以后an的间隔越来越小，最后在a∞处出现无穷多点周期，并转入混乱状态。混沌具有很强的普遍性。它出现于代数方程、一维和高维的差分方程、自洽和非自洽的常微分方程、偏微分方程、微分积分方程和泛函方程中。
非线性迭代无穷进行下去时，得到普适的菲金堡姆泛函方程
screen.width-333) {this.width=screen.width-333;this.alt='Click Here to Open New Window';}" border=0>其中N表示选代N次。混沌具有一些普适性很好的常数：分岔序列的收敛速率
screen.width-333) {this.width=screen.width-333;this.alt='Click Here to Open New Window';}" border=0>标度变换因子（自相似系数）α，分岔点附近的慢化指数等。g（x）的形式与迭代函数f的具体形式无关，只依赖于函数的一些普遍性质。
混沌显示的普适性表明，一方面在不同的非线性映射中出现同样的分岔结构和定量特征，另一方面对于同一映射它们适用于不同层次的内嵌结构。
混沌状态出现时运动轨道不稳定，它们随机地但密致地逐渐汇集于一个整体日益减小但局部指数分离的区域。这就是奇异吸引子（strange attractor）。它不同于一般稳定的不动点（整数维吸引子），具有奇特的非整数的空间维数，这种空间是豪斯道夫（Hausdorff）空间。因此，这是一种多层次的整体稳定，局部不稳定的运动状态，形成无穷嵌套的自相似结构。而且各种奇异吸引子具有某种共同的特点，即所谓标度不变性（标度律）。这就是把标尺作适当地收缩后，形象地说即用放大镜放大若干倍后，吸引子的细节部分与整体具有同样的结构。这是与内在随机性密切相关的几何性质。
普适性和标度律把我们引到了在量子场论和相变理论中被成功应用的重正化群方法。事实上，菲金堡姆的泛函方程就是决定倍周期分岔普适性质的重正化群方程。混沌必须远离平衡，这又与非平衡态统计、耗散结构发生联系。物理系统在远离平衡时即可能突变为更有序和对称的状态，也可能突变进入混沌状态，且普利高津等还进一步认为有序来自混沌。
人们先研究的是倍周期分岔现象，以后郝柏林、彭守礼等又研究了三周期等高次分岔现象。目前不仅在若干实验中观察到了此类现象，而且在理论方面也取得了一系列进展。
“等闲识得东风面，万紫千红总是春”。菲金堡姆的工作出人意料地发现了混沌现象的普适性，从而迎来了桃红柳绿的初春。但混沌的各种定义和理论还在变比、发展，繁花似锦，姹紫嫣红的大好春光才刚刚开始呢。
三、孤子、混沌的结合与非线性理论
物理学中一直存在决定论和概率论两套描述体系。二者不仅基本精神相反，而且曾经长期对立，互不相容。可是科学的发展日益表明，这两套体系是互补的。混沌理论的研究更揭示了除广泛存在的外在随机性之外，甚至确定论系统本身也普遍具有内在的随机性。
决定论和概率论并存的现象，很具体地表现了在非线性理论中同时存在着孤子和混沌。孤子具有不变的形状和速度，具有确定的轨迹，类似经典粒子，是典型的确定论的客体。而混沌完全相反，与统计理论密切相关，具有内在的随机性。它们一个具有特殊性，是某些非线性方程的特解；一个具有普适性，并且广泛存在于非线性系统中。一个对时间和空间都是稳定的，传播和碰撞时不变；一个不断分岔，直至混沌，并有正序和反序两个方向的对称变化。孤子基本出现于偏微分方程中；而混沌目前主要出现在常微分方程中，偏微分方程的研究才在拉开序幕。但它们都本质地联系于系统的非线性。二者携手并进，取长补短，一定能更好地发展非线性理论。
1983年，我们提出一种新的孤子方程
screen.width-333) {this.width=screen.width-333;this.alt='Click Here to Open New Window';}" border=0>它的孤子解包括孤子形的柯西分布、正态分布和学生氏分布。并且方程可以进一步推广为
screen.width-333) {this.width=screen.width-333;this.alt='Click Here to Open New Window';}" border=0> 它与很多已知的孤子方程相关，其孤子解包括费米—狄拉克分布。这样就有可能把统计理论和微分方程、物理上的动力学联系起来研究。
为了解非线性方程，数学物理中还取得了一个重要突破，采用了一些巧妙的特殊变换作为傅里叶分析的推广。它们可以称为“非线性迭加原理”，其中最著名的例子就是贝克兰得变换。这一领域的研究方兴未艾。
screen.width-333) {this.width=screen.width-333;this.alt='Click Here to Open New Window';}" border=0>然后，推广混沌理论，假定其中周期分岔相应于粒子产生，这样混沌理论就可以应用到新的领域，就可以定量描述高能多重产生和级联簇射。而多重产生和混沌理论的很多性质都是普适的。“山外青山楼外楼”，一座比一座更加巍峨壮丽的科学高峰还屹立在我们前面，宏伟的科学大厦还等待我们去建造。孤子和混沌的结合与应用，决定论和概率论的研究与发展等等未知领域，还有待于我们去发现，去开拓。非线性理论的广阔天地才刚刚露出几点瑰丽的醉人奇景，而试看将来的科学，必是非线性的世界！
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