光子能隙
早在半个世纪前，
物理学家就已经知道，晶体(如半导体)中的电子由于受到晶格的周期性位势(periodic potential)散射，部份波段会因破坏性干涉而形成能隙(energy
gap)，导致电子的色散关系(dispersion relation)呈带状分布，此即众所周知的电子能带结构 (electronic band
structures)。然而直到1987年，E. Yablonovitch 及S. John
[1]才不约而同地指出，类似的现象也存在于光子系统中：在介电系数呈周期性排列的三维介电材料中，电磁波经介电函数散射后，某些波段的电磁波强度会因破
坏性干涉而呈指数衰减，无法在系统内传递，相当于在频谱上形成能隙，于是色散关系也具有带状结构，此即所谓的光子能带结构(photonic band
structures)。具有光子能带结构的介电物质，就称为光能隙系统(photonic band-gap system，
简称PBG系统)，或简称光子晶体(photonic crystals)。
自然界中的例子
光子晶体虽然是个新名词，但自然界中早已存在拥有这种性质的物质，盛产于澳洲的宝石蛋白石(opal)即为一例[2]。蛋白石是由二氧化硅纳米球(nano-sphere)沉积形成的矿物，其色彩缤纷的外观与色素无关，
而是因为它几何结构上的周期性使它具有光子能带结构，随着能隙位置不同，反射光的颜色也跟着变化；换言之，是光能隙在玩变色把戏。
图1.1
蛋白石是矿物界的光子晶体
在生物界中，也不乏光子晶体的踪影。以花间飞舞的蝴蝶为例，其翅膀上的斑斓色彩，其实是鳞粉上排列整齐的次微米结构，选择性反射日光的结果[3]。几年前，科学家发现澳洲海老鼠的毛发也具有六角晶格结构[4]，为生物界的光子晶体又添一例。
图1.2
翅膀鳞粉具有光子晶体结构的蝴蝶[3]
人造多层系统
事实上，在三维光子能带结构的概念尚未问世前，层状介电系统──即一维的光子晶格──已被研究多年，电磁波在该系统中的干涉现象早已应用在各种光学实验中，做为波段选择器、滤波器或反射镜等。例如光学中常见
布拉格反射镜(Bragg reflector)[5]，乃是一种四分之一波长多层系统(quarter-wave-stack multi-layered
system)， 说穿了就是简单的一维光子晶体。
尽管如此，这方面的研究却停留在一维系统的光学性质上，物理界一直未能以“晶格”的角度来看待周期性光学系统，也因此迟迟未将固态物理上已发展成熟的能带理论运用在
这方面。一直到了1989年，Yablonovitch及Gmitter首次尝试在实验上证明三维光子能带结构的存在[6]，该实验虽然功亏一篑，但物理界已注意到其潜力，于是开始大举投入这方面的研究。
第一个绝对能隙
Yablonovitch及Gmitter在实验中采用的周期性介电系统是在三氧化二铝(Al2O3)块材中，按照面心立方(face-centered
cubic, fcc) 的排列方式钻了将近八千个球状空洞，这些空洞即所谓的“原子”，如此形成一个人造的巨观晶体。
三氧化二铝和空气的介电常数分别为12.5和1.0，面心立方体的晶格常数是1.27公分。根据实验量得的透射频谱，所对应的三维能带结构如图1.3所示，其中左斜与右斜线分别代表两种不同的偏极化模。由此图所求得的
绝对能隙(absolute
gap)位于15GHz的微波范围，宽度约有1GHz)。
遗憾的是，理论学家稍后指出，上述系统因对称性(symmetry)之故，
在W和U两个方向上并非真正没有能态存在，只是该频率范围内的能态数目相对较少，因此只具有虚能隙(pseudo gap)[7]。
图1.3
第一个功败垂成的三维光子晶体[6]。
图1.4
第一个具有绝对能隙的光子晶体，及其经过特别设计的制作方式[8]。
两年之后，Yablonovitch等人卷土重来，
这回他们调整制作方式，在块材上沿三个夹120度角的轴钻洞，如此得到的fcc晶格含有非球形的“原子”(如图1.4所示)[8]，
终于打破了对称的束缚，在微波波段获得真正的绝对能隙，证实该系统为一个光子绝缘体(photonic insulator)。
发展至今，无论是理论上或实验上都已有大量的成果出现[8]：
在三维方面，光子能隙已在许多晶格结构不同的系统如面心立方、体心立方(body-centered cubic)及其它准晶格
(quasi-crystal)结构中观察到；在二维方面，三角(triangular)、四角(square)、蜂巢(honey comb)及其它晶体
结构也被证实具有光能隙的存在[9]。
缺陷：一线生机
虽然只有完美的光子晶体才可能拥有绝对能隙，但就应用的角色来看，科学家对不完美的光子晶体更感兴趣，原因就是杂质态
(impurity
state)。实验上发现[10]，在二维或三维的光子晶体中加入或移去一些介电物质(如图1.5所示)，便可以产生杂质或缺陷(defect)。
图1.5
具有点状缺陷的光子晶体。
图1.6
出现在能隙中的缺陷态。
与半导体的情况类似，光子系统的杂质态也多半落在能隙内， 这使原来为“禁区”的能隙出现了“一线生机”
(如图1.6所示) 。能隙给了人类局限电磁波的能力，而杂质所提供的一线
生机则使我们有导引电磁波的可能，这点在光电上极具应用价值。因此，在光子晶体相关领域内，杂质态是个重要的研究课题。
对于一个杂质态而言，由于杂质四周都是光子晶体形成 的“禁区”，电磁波在空间分布上只能局限在杂质附近，因此一个点状缺陷(point
defect)相当于一个微空腔(micro-cavity) 。如果像图1.7一样接连制造几个点状缺陷，形成线状缺陷(line
defect)，电磁波便可能沿着这些缺陷传递，就相当于一个波导(waveguide)，甚至有人以它设计成光子晶体光纤 (photonic crystal
fiber)。以上只是杂质态在光电方面的几个应用， 在后面的章节中我们还会做更深入的分析。
图1.7
光子晶体中的线状缺陷可以做为波导。
光学界的"半导体"
由于杂质态可以藉改变杂质的大小或其介电常数而加以调整，
因此只要设计妥当，我们便可按需求制造出具有特定能量或位于特定空间的杂质态，与半导体藉由搀入杂质来调整载子性质非常相似，因此，光子晶体又经常被比喻成未来光学界的“半导体”[11]。
图1.8
整合各种光子晶体相关结构所设计的集成光路之想象图
以上是光子晶体的发展及特性的简介。
在接下来的第二章中，我们将透过电磁学与固态物理的语言，深入探讨光子能带结构形成的原理及其特性。
光子晶体最吸引人的条件之一，是它提供了人们按自己的需求，以人工方式设计、裁制订作(taylor)光学系统的可能性，
因此，我们有必要了解一下光子晶体的制造。现行的几种主要制造方法，无论是“由大缩小”(top-down)或是“由小做大”
(bottom-up)，都各有它们的优点与限制。
由于实验上制作光晶体颇为费事费时，理论方面的仿真计算就显得格外重要。除了辅佐实验外，理论计算本身也是研究光子晶体的重要一环，不论是数值或解析上的计算结果，对于改良甚至设计新系统都有不可或缺的贡献。
光子晶体由于提供了操控光的能力，因此光电工业对它特别感兴趣，许多相关应用也纷纷被提出来，虽然目前实际的应用还有限，但随着科技的加速发展与知识的累积，或许在不久的未来，我们就能目睹“集成光路”(integrated
optical circuits)的实现。
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