光纤的波动理论
3．光纤钟的各种导模
--- 首先分析阶跃折射率光纤中存在哪些模式。对应  由两套波型， 模和 模，这里的 表示圆周方向的模数，  表示径向的模数， 。由波导方程式可知，对于 模，仅有 ， 和 分量，  ； 而对于 模， 仅有 ， 和 分量， 。 意味着 模和 模的场分量沿圆周方向没有变化。
---- 当 时， 和 分量都不为零，为混合模。混合模也分为 和 两套模式，（2-47）式表示的弱导光纤特征方程。式中“±”表示方程有两组解，取“ ”号为一组解，对应的模式为 模；取“-”号为另一组解，对应的模式为 模。
-- 下面通过弱导光纤特征方程来分析各种模式的截止条件，并求出各种模式的截止频率。
（1） 模和 模
--- 令 ，可得到 模和 模有相同特征方程,为
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（2-48） |
---- 当模式截止时， ， ， 由第二类变型的贝塞尔函数的递推关系及渐进公式，可以得到
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（2-49） |
所以截止状态下的特征方程为
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（2-50） |
---- 的根有 2.4048, 5.5201, 8.6537, ,它们分别对应着 ，
， ， 模的截止频率。就是说，若归一化频率  2.4048,
则 模就能在光纤中存在；反之，若归一化频率 2.4048， 模
就不是导模。对其他模式可以次类推。
---- 应该注意， 和 模有相同截止频率，它们是相互简并的。
（2） 模
--- 令 ，可得到 模特征方程,为
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（2-51） |
由贝塞尔函数的递推公式将（2-51）式化为
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（2-52） |
当模式截止时， ，可得到
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（2-52） |
所以截止状态下 的特征方程为
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（2-53） |
---- 从（2-53） 解出 。 是 阶贝塞尔函数的第 个根，  ,对每一个 ,
的组合，可得到一个相应的 模。
---- 例如，当 1时，得到一族 模，其 = =3.8317,7.0156,10.1745, ,其他可以次类推。
（3） 模
--- 令 ，可得到 模特征方程,为
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（2-54） |
由贝塞尔函数的递推公式将（2-54）式化为
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（2-55） |
分 ， 两种情况进行讨论。
----- <1> 当 时，截止状态下 的特征方程为
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（2-56） |
| 所以 |
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（2-57） |
---- 的根有 0,3.8317 ,7.0160 ,10.1735, ,它们分别对应着 ,  ,
, 模式的截止频率。在所有的导模中，只有 模式截止频率为零，亦
即截止波长为无穷大。 模式是任何光纤中都能存在、永不截止的模式，成为主模或基
模，是单模光纤的工作模。
----- <2> 当 时，截止状态下 的特征方程整理后为
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（2-58） |
| 得到 |
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（2-59） |
---- 例如，当 2时， 的根有 2.4048, 5.5201, 8.6537, ,它们分别对应着, ,  ， 模， 模在截止时与 、 简并。
---- 表2-1给出几个较低阶贝塞尔函数的前几个根。
表2-1 贝塞尔函数的前几个根
--- 从以上分析可以知道，  模式光纤的主模，这种模式对于任意的光波长都能在光纤
中传输，它的截止频率为零。如果光纤的归一化频率 2.405， 、 、 模
式还没有出现时，光纤只有 模，因此
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| 或 |
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（2-60） |
式中， 为纤芯半径， 为纤芯的折射率，  为包层的折射率， 为工作光波长。
(2-60）式就是 阶跃折射率光纤单模传输的条件 。
(4) 远离截止时的 和 模
-- 当 W→∞,U→0是模式远离截止的条件。可得到远离截止 和 模的特征方程为
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